■３次方程式の問題
３次方程式Ｘ３＋ＡＸ２＋（Ａ＋８）Ｘ＋９＝０の解が
次の二つの条件を満たす時、Ａの範囲を求めよ。
- 一つの実数解を持つ。条件１
- 二つの虚数解を持つ。条件２
■３次方程式の解法
数学の問題の考え方のコツ
- 文章の条件を式にする。
- 式を組み合わせる。
- 答が出る直前の状態を考える。
●文章の条件を式にする
一つの実数解と二つの虚数解という条件を式にする。
一つの実数解
一つの実数解をａとすると、（条件１）
ｆ（Ｘ）＝Ｘ３＋ＡＸ２＋（Ａ＋８）Ｘ＋９＝（Ｘ−ａ）（Ｘ２＋ｂＸ＋ｃ）・・・（１）
と因数分解される。
二つの虚数解
二つの虚数解を持つという事は、（条件２）
（Ｘ２＋ｂＸ＋ｃ）＝０の判別式が負という事。
判別式D＝ｂ２−４×（+1）×ｃ＜０・・・（２）
判別式と解の個数
●式を組み合わせる
条件を式に直したので、（１）と（２）の式だけを見る。
●答が出る直前の状態
Ａの範囲を求めるという事は、Ａ＞？？のような不等式を求めるという事だ。
不等式は（２）のｂ２−４ｃ＜０だが、Ａがない。
よって、（１）の式からｂ＝？？、ａ＝？？、ｃ＝？？を求めて（２）の式に代入すれば良い。
式の展開、係数を比較
（１）の式からｂ＝？？を求めるには、どうしたら良いだろうか。
右辺を展開
Ｘ３ ＋ＡＸ２ ＋（Ａ＋８）Ｘ ＋９＝（Ｘ−ａ）（Ｘ２＋ｂＸ＋ｃ）
＝Ｘ３＋（ｂ−ａ）Ｘ２＋（ｃ−ａｂ）Ｘ−ａｃ
係数を比較
- Ａ＝ｂ−ａ
- Ａ＋８＝ｃ−ａｂ
- ９＝−ａｃ
連立方程式から二次不等式
ここで、ａが整数であるという保証はないのだが、９＝−ａｃから
ｆ（Ｘ）＝Ｘ３＋ＡＸ２＋（Ａ＋８）Ｘ＋９＝０となるＸの候補は+1,+3,+9,-1,-3,-9
+の値は０になりそうにないから、-1,-3,-9の順に代入してみると、
ｆ（-1）＝（-1）３＋Ａ（-1）２＋（Ａ＋８）（-1）＋９＝０となり、
ｆ（Ｘ）＝（Ｘ−（-1））（・・・）と因数分解できる事が分かる。
3次方程式の解き方-因数定理
この時、ａ＝−1、ｃ＝９となるので、1.の式に代入して、
Ａ＝ｂ−ａ＝ｂ−（−1） → ｂ＝Ａ−1。ｃ＝９とともに（２）の式に代入すれば、
ｂ２−４ｃ＜０ は （Ａ−1）２−４×９＜０。二次不等式となる。
（Ａ−1）２−６２＜０。二乗−二乗だから、（Ａ−1＋６）（Ａ−1−６）＜０。
（Ａ＋５）（Ａ−７）＜０ → （Ａ−(−５)）（Ａ−７）＜０。
クローズだから、−５＜Ａ＜７。二次不等式の安直な解法
この３次方程式の問題は、適切な問題ではないかもしれませんが、
数学の問題を解くうえでの考え方を示す例です。
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