- 因数定理。剰余が０の場合
- 因数定理を使った三次方程式の解法
- 剰余の定理。剰余が０でない場合
■因数定理
因数定理とは、Ｘの多項式 f（Ｘ）に対して、f（ａ）＝0 を満たすａが存在すれば
- f（Ｘ）は（Ｘ-ａ）を因数に持つ
- f（Ｘ）は（Ｘ-ａ）で割り切れる
- f（Ｘ）を（Ｘ-ａ）で割った時の剰余（あまり）は０
●因数定理の簡単な説明
Ｘの多項式ｆ（Ｘ）が
ｆ（Ｘ）＝（Ｘ−ａ）（Ｘの整式）と因数分解されたとする。
ｆ（ａ）＝（ａ−ａ）（Ｘの整式・・・）＝０×（・・・）＝０だから
ｆ（ａ）＝０となる時は
- ｆ（Ｘ）＝（Ｘ−ａ）（・・・）と因数分解できる。
- ｆ（Ｘ）は（Ｘ−ａ）を因数に持つ。
- ｆ（Ｘ）は（Ｘ−ａ）で割り切れる。
●因数定理による三次方程式の解法
三次方程式の問題
三次方程式ｆ（Ｘ）＝Ｘ３−６Ｘ２＋１１Ｘ−６＝０の解を求めよ。
- ｆ（ａ）＝０となる、ａの候補は６の約数である1、2、3、6、-1、-2、-3、-6。
- ｆ（１）＝０となるので、
ｆ（Ｘ）＝Ｘ３−６Ｘ２＋１１Ｘ−６＝（Ｘ−１）（・・・）と因数分解できる。 - （・・・）の部分は
Ｘ３−６Ｘ２＋１１Ｘ−６を（Ｘ−１）で割って、（Ｘ２−５Ｘ＋６）となる。
多項式の除法 - Ｘ３−６Ｘ２＋１１Ｘ−６＝（Ｘ−１）（Ｘ２−５Ｘ＋６）＝０
- （Ｘ２−５Ｘ＋６）＝（Ｘ−２）（Ｘ−３）だから
かけて＋６、足して−５になるのは「−２」と「−３」。
二次式の因数分解の解き方 - Ｘ３−６Ｘ２＋１１Ｘ−６＝（Ｘ−１）（Ｘ−２）（Ｘ−３）＝０
- 解は、Ｘ＝１、２、３。
■剰余の定理
剰余の定理とは、多項式 f（Ｘ）を（Ｘ-ａ）で割ったときの剰余（あまり）はf（ａ）であるという定理。
●剰余の定理の簡単な説明
１６÷３＝５・・・あまり１、は
１６＝３×５＋１と表現できる。
f（Ｘ）÷（Ｘ-ａ）＝q（Ｘ）・・・あまりR（数字）、は
f（Ｘ）＝（Ｘ-ａ）×q（Ｘ）＋Rと表現できる。
f（ａ）＝（ａ-ａ）×q（ａ）＋R＝０×q（ａ）＋R＝Rとなり、
f（Ｘ）を（Ｘ-ａ）で割ったときの剰余R（あまりR）＝f（ａ）である。
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